【已知a为锐角,且tana=(根号2)-1,函数f(x)=x-查字典问答网

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　　【已知a为锐角,且tana=(根号2)-1,函数f(x)=x²tan2a+xsin(2a+π/4),数列an的首项a1=1/2,a(n+1)=f(an).求证：1<1/(1+a1)+1/(1+a2)+……+1/(1+an)】

　　已知a为锐角,且tana=(根号2)-1,函数f(x)=x²tan2a+xsin(2a+π/4),数列an的首项a1=1/2,a(n+1)=f(an).

　　求证：1

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2020-06-2412:11

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宋巨龙

　　因为a为锐角,且tana=(√2)-1

　　所以tan2a=(2tana)/(1-tan²a)=1

　　所以sin2a=√2/2,cos2a=√2/2,sin(2a+π/4)=1

　　所以f(x)=x²+x

　　因为a(n+1)=f(an)

　　所以a(n+1)=an²+an=an(1+an)

　　取倒数,

　　1/an(1+an)=1/a(n+1)

　　所以,1/(1+an)=1/a(n)-1/a(n+1)

　　又a1=1/2

　　所以,

　　1/(1+a1)+1/(1+a2)+……+1/(1+an)

　　=1/a(1)-1/a(2)+1/a(2)-1/a(3)+……+1/a(n)-1/a(n+1)

　　=1/a(1)-1/a(n+1)

　　=2-1/a(n+1)

　　因为,a(n+1)=an²+an

　　所以,a(n+1)-an＝an²>0

　　所以,数列{an}为递增数列

　　又a1＝1/2,a2＝3/4,a3＝21/16>1

　　所以,n≥2时,a(n+1)>1

　　即,n≥2时,0

2020-06-24 12:15:46

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