已知函数f（x）=（ax2-2x+1）•e-x（a∈R，e为-查字典问答网

来自石林初的问题

　　已知函数f（x）=（ax2-2x+1）•e-x（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若函数f（x）在[-1，1]上单调递减，求a的取值范围．

　　已知函数f（x）=（ax2-2x+1）•e-x（a∈R，e为自然对数的底数）．

　　（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；

　　（Ⅱ）若函数f（x）在[-1，1]上单调递减，求a的取值范围．

1回答

2020-06-2013:43

我要回答

提示：回答问题需要登录哦！

吕东岳

　　（I）当a=1时，f（x）=（x2-2x+1）•e-x，

　　f'（x）=（2x-2）•e-x-（x2-2x+1）•e-x=-（x-1）（x-3）•e-x…（2分）

　　当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：

　　x（-∞，1）1（1，3）3（3，+∞）f'（x）-0+0-f（x）递减极小值递增极大值递减所以，当a=1时，函数f（x）的极小值为f（1）=0，极大值为f（3）=4e-3．…（5分）

　　（II）f'（x）=（2ax-2）•e-x-（ax2-2x+1）•e-x=-e-x[ax2-2ax-2x+3]

　　令g（x）=ax2-2（a+1）x+3

　　①若a=0，则g（x）=-2x+3，在（-1，1）内，g（x）＞0，

　　即f'（x）＜0，函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减．…（7分）

　　②若a＞0，则g（x）=ax2-2（a+1）x+3，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝a+1a＞1

2020-06-20 13:48:35

大家都在问