已知a,b为实数,且b>a>e,其中e为自然对数的底,求证a-查字典问答网

来自毕卫红的问题

　　已知a,b为实数,且b>a>e,其中e为自然对数的底,求证a*b＞b*a?（*是a的b次幂的意思）看到答案·但是为什么要设成f(x)=xlna-aln即blna>alnb.所以a^b>b^a也不明白·

　　已知a,b为实数,且b>a>e,其中e为自然对数的底,求证a*b＞b*a?（*是a的b次幂的意思）

　　看到答案·但是为什么要设成f(x)=xlna-aln即blna>alnb.

　　所以a^b>b^a也不明白·

1回答

2020-06-2101:35

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邱康睦

　　证明：构造函数f(x)=x㏑a-a㏑x.(x≥a＞e).求导得f'(x)=(㏑a)-(a/x).∵x≥a＞e.∴㏑a＞㏑e=1.且1≥a/x＞0.===>f'(x)=(㏑a)-(a/x)＞0.∴函数f(x)在[a,+∞)上递增,故当b＞a时,f(b)＞f(a).===>b㏑a-a㏑b＞a㏑a-a㏑a=0.===>b㏑a＞a㏑b.===>㏑(a^b)＞㏑(b^a).===>a^b＞b^a.证毕.