已知函数f（x）=ex-x-1（e是自然对数的底数）．（1）-查字典问答网

来自秦晓蓉的问题

　　已知函数f（x）=ex-x-1（e是自然对数的底数）．（1）求证：ex≥x+1；（2）若不等式f（x）>ax-1在x∈[12，2]上恒成立，求正数a的取值范围．

　　已知函数f（x）=ex-x-1（e是自然对数的底数）．

　　（1）求证：ex≥x+1；

　　（2）若不等式f（x）>ax-1在x∈[12，2]上恒成立，求正数a的取值范围．

1回答

2020-06-1714:55

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刘一江

　　（本小题满分12分）

　　证明：（1）由题意知，要证ex≥x+1，只需证f（x）=ex-x-1≥0，

　　求导得f′（x）=ex-1，当x∈（0，+∞）时，f′（x）=ex-1>0，

　　当x∈（-∞，0）时，f′（x）=ex-1<0，

　　∴f（x）在x∈（0，+∞）是增函数，在x∈（-∞，0）时是减函数，

　　即f（x）在x=0时取最小值f（0）=0，

　　∴f（x）≥f（0）=0，即f（x）=ex-x-1≥0，

　　∴ex≥x+1．…（6分）

　　（2）不等式f（x）>ax-1在x∈[12

2020-06-17 15:00:09

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