边长相等的图形中,为什么圆形面积最大(比多边形)?结论我都懂-查字典问答网

来自涂群章的问题

　　边长相等的图形中,为什么圆形面积最大(比多边形)?结论我都懂,我想要的是证明.请不要举例三角形,正方形什么的,然后列出计算结果.是任意多边形都比圆形小的证明(应该要用到极限的)

　　边长相等的图形中,为什么圆形面积最大(比多边形)?

　　结论我都懂,我想要的是证明.请不要举例三角形,正方形什么的,然后列出计算结果.

　　是任意多边形都比圆形小的证明(应该要用到极限的)

1回答

2020-06-0921:03

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黄焕彬

　　证明：假设是一个正N边形,周长为L则每条边的长度为L/N,连接某一条边的两个端点到图形中点的两条线段设其长度为R则这两条线段与这条边组成一个等腰三角形.

　　然后就是用L和N表示出正多边形的面积：S=N*每一个等腰三角形面积=N*（1/2）*R^2*sin(2t)其中2t就是等腰三角形的顶角大小,其大小满足2t=2pi/N(pi表示圆周率)所以化简之后得到S=L^2/(4*pi)*m*cosm/(sinm)这里的m即为pi/N

　　接下来就是要证明,这个函数是单调递增且有极限存在.

　　将S对于m求导可以易得是个单调递减函数又因为m=pi/N在N为自然数的时候显然又是个单调减的函数,所以随着N增加m逐渐减小S逐渐增加所以同等周长的情况下,边数越多的正多边形面积越大.

　　下面看N趋近于无穷的情况,此时m趋近于0后面的F（m）=m*cosm/(sinm)是一个0/0型的极限,所以使用罗比达法则,上下对于m求导,易得原极限=(cosm-m*sinm)/(cosm)=1所以原来的F（m）极限就是=1所以当n趋近于无穷时面积极限存在等于L^2/(4*pi)

　　证毕

2020-06-09 21:04:09

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