百度上找的：实话实说微分的概念

　　一,微分概念的引入

　　在实际测量中,由于受到仪器精度的限制,往往会产生误差.例如x0为准确数,实际测量出是x*=x0+Δx为x0的近似数,由此产生的误差为Δx相应产生的函数值的误差Δy=f(x0+Δx)-f(x0),往往需要估计Δy的值.如果f(x0+Δx),f(x0)计算很复杂.因此计算Δy也很麻烦或者实际中只知道近似数x*与误差|Δx|≤δ,又如何估计Δy

　　假设f′(x)存在,则

　　==f′(x0),有

　　=f′(x0)+α,α=0,于是

　　Δy=f′(x0)Δx+αΔx,而=0(1)即αΔx=0(Δx)(Δx→0)因此,当|Δx|很小时,

　　Δy≈f′(x0)Δx

　　在实际中如果不知道x0,只知道x*,由x0,x*相差很小,则

　　Δy≈f′(x*)Δx,从而可以估计出Δy.

　　从(1)式我们看到,f′(x0)相对Δx是一个常数,αΔx是Δx的高阶无穷小,如果Δy=AΔx+0(Δx)(Δx→0),则Δy≈AΔx,由此得到微分的概念.

　　二,微分的概念

　　定义设y=f(x)在x0的某领域U(x0)内有定义,若

　　Δy=f(x+Δx)-f(x)可表示为

　　Δy=AΔx+o(Δx)(Δx→0)

　　其中A是写Δx无关的常数,AΔx称为Δy的线性部.则称y=f(x)在点x处可微,称线性部AΔx为y=f(x)在点x处的微分,记为dy,即dy=AΔx.

　　三,可微与可导的关系

　　从概念的引入,我们可以看到可导必可微,反之也是正确的.因此有

　　定理函数y=f(x)在点x可微的充要条件是函数y=f(x)在点x处可导.且A=f′(x).

　　证充分性,由f(x)在点x处可导,有

　　=f′(x),于是

　　=f′(x)+α,其中α=0,有

　　Δy=f′(x)Δx+αΔx,由=0,有αΔx=o(Δx)(Δx→0)

　　所以

　　Δy=f′(x)Δx+o(Δx)(Δx→0)

　　因此,y=f(x)在点x处可微且f′(x)=A.

　　必要性由y=f(x)在点x处可微,由定义知

　　Δy=AΔx+0(Δx)(Δx→0),A与Δx无关.

　　由=[A+]=A=f′(x)

　　所以y=f(x)在点x处可导.

　　于是,若y=f(x)在点x处可微,则

　　dy=AΔx,由A=f′(x),有

　　dy=f′(x)Δx

　　由函数x在x处可微,则dx=(x)′Δx=Δx,即自变量的改变量等于自变量的微分,因此

　　dy=f′(x)dx等价于=f′(x)

　　由此可见,导数f′(x)等于函数y=f(x)的微分dy与自变量x的微分dx的商.因此,导数又称为微商,这时不仅可以看成一个整体记号,也可以看成dy与dx的商.

　　下面举几个例子,来说明微分的一些实际意义

　　圆面积S=πr2,其中r为圆半径,则

　　图2-6

　　ΔS=π(r+Δr)2-πr2=2πrΔr+π(Δr)2

　　ds=2πrΔr=2πrdr

　　当半径有增量Δr时,圆面积的增量ΔS,如图中圆环表示,用微分ds近似它即以边长为2πr(圆)环内圆长)高为圆环厚度dr的长方形面积来近似.如图2-7

　　图2-7

　　(2)圆柱体体积V=πr2h,其中r为圆柱体的底面半径,h为圆柱的高

　　Δv=π(r+Δr)2h-πr2h

　　=2πrhΔhΔr+πh(Δr)2

　　dv=2πrhΔr=2πrhdr

　　图2-8

　　当底面半径有增量Δr时,圆柱体的增量Δv,如图中空心圆柱表示,用微分dv近似,即底面长为2πr(内圆柱底面周长)宽为h(圆柱的高)高为圆柱厚度Δr的长方体体积.如图2-9

　　(3)球的体积v=πr3(其中r为地球半径),当半径有增量Δr时,球体积的增量(即薄球壳的体积Δv)

　　ΔV=π(r+Δr)3-πr3

　　=π[r3+3r2Δr+3rΔr3-πr3]

　　=4πr2Δr+(4rπΔr+πΔr2)Δr

　　dv=4πr2Δr

　　即薄球壳的体积Δv用微分dv近似即以球壳内球面面积4πr2与厚dr的乘积来近似.

　　四,微分的几何意义

　　若y=f(x)在点x处可微,则

　　Δy=f′(x)Δx+o(Δx)=dy+o(Δx)

　　图2-9

　　及PT中曲线y=f(x)在曲线上点P(x,y)处的切线斜率tanα=f′(x)

　　Δy=f(x+Δx)-f(x)=NQ

　　dy=f′(x)Δx=tanαΔx=NT

　　图2-10

　　o(Δx)=Δy-dy=NQ-NT=TQ

　　由dy≈Δy,即

　　NT≈NQ,则

　　|PT|=≈=|PQ|≈||

　　因此,当|Δx|很小时,可用线段NT近似代替NQ,或者说在P点邻近,可用切线段PT近似代替曲线弧.

　　§2.2微分的基本性质

　　一,微分基本公式

　　由dy=f(x)dx,将导数公式表中每个导数乘上自变量的微分dx,便得相应的微分公式(公式略,请读者写出来).

　　二,微分的四则运算

　　定理设u(x),v(x)在点x处均可微,则

　　u±v,uv,cu(c为常数),(v≠0)在点x处都可微,且

　　1.d(u±v)=du±dv

　　2.d(uv)=vdu+udv特别d(cu)=cdu(c为常数)

　　3.d()=(v≠0),特别d()=-(v≠0)

　　注:微分的四则运算与导数的四则运算类似,只须把导数四则运算中的导数改成微分,就可得到微分的四则运算.

　　证3d()=()′dx=dx

　　==(v≠0)

　　三,一阶微分不变形

　　定理若u=φ(x)在x处可微,y=f(u)在点u(u=φ(x))处可微,则复合函数

　　y=f(