在二阶的常系数非齐次线性微分方程中,记特征方程为λ^2+pλ-查字典问答网

来自高淑琴的问题

　　在二阶的常系数非齐次线性微分方程中,记特征方程为λ^2+pλ+q=0.若特征方程的解为虚数,但f（X）为x的二次多项式,不是e^λx[R(X)coswx+P(x)sinwx]的形式,则该如何求解f（x）?如下题：y''+y=x^2；

　　在二阶的常系数非齐次线性微分方程中,记特征方程为λ^2+pλ+q=0.

　　若特征方程的解为虚数,但f（X）为x的二次多项式,不是e^λx[R(X)coswx+P(x)sinwx]的形式,则该如何求解f（x）?如下题：y''+y=x^2；

1回答

2020-05-3119:42

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胡明

　　第一个问题特解形式x^ke^λx[R(X)coswx+P(x)sinwx],是否含有正余弦,取决于非齐次项e^λx中的λ,如果λ是虚数,特解才会含有正余弦.λ是否为特征方程的解决定x^ke^λx[R(X)coswx+P(x)sinwx]中x^k中的k的取值.

　　第二个问题的y''+y=x^2的特征方程为r^2+1=0,解出λ=+i或-i；

　　又因为本题中不含e^λx,所以λ=0,不是特征方程的跟,

　　所以假设特解形式为x^0e^0x(ax^2+bx+c)=ax^2+bx+c,

　　然后代入原方程y''+y=x^2,利用待定系数法,求出a,b,c,就把特解求出来了.

　　补充：如果你有高等数学教材,结合我的解答看一下就明白了.

2020-05-31 19:47:00

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