直角三角形ABC中,.直角三角形ABC中,斜边BC为m,以B-查字典问答网

来自刘发全的问题

　　直角三角形ABC中,.直角三角形ABC中,斜边BC为m,以BC的中点O为圆心,作半径为n（n＜m/2）的圆,分别交BC于P,Q两点,求证｜AP｜^2+｜AQ｜^2+｜PQ｜^2为定值.

　　直角三角形ABC中,.

　　直角三角形ABC中,斜边BC为m,以BC的中点O为圆心,作半径为n（n＜m/2）的圆,分别交BC于P,Q两点,求证｜AP｜^2+｜AQ｜^2+｜PQ｜^2为定值.

1回答

2020-06-0100:33

我要回答

提示：回答问题需要登录哦！

邓就庆

　　连接AO

　　因为O是Rt△ABC斜边BC的中点,所以：AO=BC/2=m/2

　　在△AOP中,根据余弦定理有：

　　AP^=PO^+AO^-2AO*PO*cos∠AOP

　　===>AP^=n^+(m/2)^-2*(m/2)*n*cos∠AOP

　　===>AP^=n^+(m^/4)-mncos∠AOP……………………………（1）

　　同理,在△AOQ中,根据余弦定理有：

　　AQ^=QO^+AO^-2AO*QO*cos∠AOQ

　　===>AP^=n^+(m/2)^-2*(m/2)*n*cos∠AOQ

　　===>AP^=n^+(m^/4)-mncos∠AOQ……………………………（2）

　　因为∠AOP+∠AOQ=180°,所以：

　　cos∠AOP=-cos∠AOQ

　　所以,(1)+(2)得到：

　　AP^+AQ^=2n^+(m^/2)

　　而PQ^=(2n)^=4n^

　　所以,AP^2+AQ^2+PQ^2=6n^+(m^/2)

2020-06-01 00:35:40

大家都在问