【为什么周长相等的几何图形圆的面积最大?】-查字典问答网

来自陈东奎的问题

　　【为什么周长相等的几何图形圆的面积最大?】

　　为什么周长相等的几何图形圆的面积最大?

1回答

2020-05-2718:10

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唐宗岳

　　你可以这么理解,假设这个周长的每个点都是有生命的,都想让面积尽量的大.

　　于是每个点都拼命向外走.

　　到最后就变成了一个圆.

　　解法如下：

　　在边数相等的情况下正多边形的面积最大--比如若两相邻的边不等,容易证明在保持长度和不变的情况下一旦将它们换成相等时,比原面积要大,所以面积最大的是正多边形．然后证明边数越大面积越大,方法是将正多边形像切蛋糕那样从中心点切成一片一片三角形,每一个三角形的面积等于边长乘以中心到边的距离除以2,于是整个多边形的面积等于周长乘以中心到边的距离除以2,周长一定时,中心到边的距离越长,面积越大．可证,边长越多时中心到边的距离越大,当边长趋于无穷时,中心到边的距离趋近于中心到顶点的距离,这时候面积是最大的．

　　由此得出周长一定的时候,正多边形的面积随着边数的增加而增加,当边数趋近于正无穷时面积最大值,即为圆；

　　所以,面积最大的是圆．