来自郭星廷的问题
证明与对角线上互不相同的对角矩阵和交换的矩阵必是对角矩阵
证明与对角线上互不相同的对角矩阵和交换的矩阵必是对角矩阵
证:设B=(bij),A=diag(a1,a2,...,an),i≠j时ai≠aj.
有AB=BA.
则
a1b11a1b12...a1b1n
a2b21a2b22...a2b2n
......
anbn1anbn2...anbnn
=
a1b11a2b12...anb1n
a1b21a2b22...anb2n
......
a1bn1a2bn2...anbnn
比较AB与BA第i行第j列的元素,得
aibij=ajbij
由i≠j时ai≠aj得bij=0.
所以B是对角矩阵.
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