如果E、F、G、H分别为空间四边形ABCD四边AB、BC、C-查字典问答网

来自蒋治的问题

　　如果E、F、G、H分别为空间四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA中点,EG等于3,FH等于4,求AC的平方加BD的平方的

1回答

2020-05-2723:59

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任桐炜

　　原题目是不是要求AC平方加BD平方的"和"?

　　我是求的它们的和：

　　连接EF,FG,GH,HE

　　因为E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,所以根据三角形内的中位线定理可以得出以下一些结论：

　　EF=HG=AC/2EH=BD/2;EF‖ACHG‖AC

　　所以有EF‖HG

　　根据平行线定理,可知E,F,A,C四点共面,又由于EF=HG,所以四边形EFGH为平行四边形,所以有∠FEH+∠EHG=180度,cos∠FEH=-cos∠EHG

　　根据前面数量的关系可知：AC^+BD^=4(EH^+EF^)

　　在△EFH和△EGH分别对FH与EG运用余弦定理可得：

　　FH^=EH^+EF^-2EH*EF*cos∠FEH

　　EG^=EH^+HG^-2EH*HG*cos∠EHG

　　把FH=4,EG=3分别代入,再将两个方程左右分别相加可得：

　　4^+3^=2(EH^+EF^)（后面带cos的项可以相互约掉）

　　于是可得(EH^+EF^)=25/2

　　所以AC^+BD^=50

2020-05-28 00:03:37

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