设向量组α1,α2,α3线性无关,β1=α1+2α2+α3,-查字典问答网

来自孙希莲的问题

　　设向量组α1,α2,α3线性无关,β1=α1+2α2+α3,β2=α1+α2+α3,β3=α1+3α2+4α3线性无关

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2020-05-2423:55

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江卫民

　　证:设k1β1+k2β2+k3β3=0

　　则k1(α1+2α2+α3)+k2(α1+α2+α3)+k3(α1+3α2+4α3)=0

　　即有(k1+k2+k3)α1+(2k1+k2+3k3)α2+(k1+k2+4k3)α3=0

　　因为α1,α2,α3线性无关

　　所以

　　k1+k2+k3=0

　　2k1+k2+3k3=0

　　k1+k2+4k3=0

　　因为系数行列式

　　111

　　213

　　114

　　=-3≠0

　　所以方程组只有零解:k1=k2=k3=0

　　所以β1,β2,β3线性无关.

　　另证:由已知

　　(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)P

　　其中P=

　　111

　　213

　　114

　　且由|P|=-3≠0知P可逆.

　　因为α1,α2,α3线性无关

　　所以r(β1,β2,β3)=r(P)=3.[参]

　　所以β1,β2,β3线性无关.

　　这个结论在解答判断题时非常有效,只需计算组合系数行列式是否为0即可

2020-05-24 23:59:50

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