如何利用矩阵的初等行变换判断向量组线性相关或线性无关?-查字典问答网
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  如何利用矩阵的初等行变换判断向量组线性相关或线性无关?

  如何利用矩阵的初等行变换判断向量组线性相关或线性无关?

1回答
2020-05-2221:46
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李卫东

  m个n维列向量α1,α2,……,αm,如果m>n.{α1,α2,……,αm}必然线性相关.

  当m≤n时.对n行m列矩阵(α1,α2,……,αm),进行行初等变换.目标是有r

  列.其前r行构成的子式变成r阶单位矩阵.并且整个矩阵,自r+1行之后全部为

  零.

  如果r=n.则.{α1,α2,……,αm}线性无关.

  如果r<n..{α1,α2,……,αm}线性相关.

  并且:还同时解决了两个其他的重要问题.①找出了最大无关组.

  ②找出了“其他”向量关于这个最大无关组的表示式.

  例如(α1,α2,α3,α4,α5)→行初等变换→

  2,1,3,0,0

  -1,0,2,1,0

  12,0.-2,0,1

  0,0,0,0,0.(标准形),则有:

  ①.{α1,α2,α3,α4,α5}线性相关.(∵3=r<4=n)

  ②.最大无关组为{α2,α4,α5}(当然不唯一.)

  ③.α1=2α2-α4+12α5.α3=3α2+2α4-2α5.

  (这些结果的道理,只一个,就是:行初等变换保持列之间的线性关系.)

2020-05-22 21:48:18
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