A,B都是m*n的矩阵,则需证r(A+B)≤r(A)+r(B)

　　设A的列向量中α(i1),α(i2),...,α(ir)是其中一个极大线性无关组

　　β(j1),β(j2),...,β(jt)是B的列向量的一个极大线性无关组.

　　那么A的每一个列向量均可以由α(i1),α(i2),...,α(ir)线性表出,

　　B的每一个列向量均可以用β(j1),β(j2),...,β(jt)线性表出.

　　于是A+B的每一个列向量α(k)+β(k)都能用α(i1),α(i2),...,α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)线性表出.

　　因此A+B列向量组中极大线性无关组的向量个数不大于α(i1),α(i2),...,

　　α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)中的向量个数,即r(A+B)≤r+t=r(A)+r(B)

　　前面不是说了吗，A+B的列向量都可以由a(i1),a(i2),和，β(j1),β(j2),...,β(jt)线性表示，那么他的极大无关组数当然不大于他们中向量个数啊。因为如果a(i1),ai2,和bi1,bi2线性相关的话，那么这时是取等号的，如果它们线性无关，那么就取小于