请问老师,如何证明分块对角矩阵的秩=对角块的秩之和?我知道应-查字典问答网

来自高曙明的问题

　　请问老师,如何证明分块对角矩阵的秩=对角块的秩之和?我知道应该用极大线性无关组的知识,但是不知道怎么去运用……

　　请问老师,如何证明分块对角矩阵的秩=对角块的秩之和?

　　我知道应该用极大线性无关组的知识,但是不知道怎么去运用……

1回答

2020-05-2216:15

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潘景浩

　　比如说A=diag{A1,A2},r(A1)=r,r(A2)=s

　　先取可逆阵P1,Q1,P2,Q2使得A1=P1D1Q1,A2=P2D2Q2

　　其中D1=diag{I_r,0},D2=diag{I_s,0}

　　那么A=diag{P1,P2}*diag{I_r,0,I_s,0}*diag{Q1,Q2}

　　容易看到r(A)=r(diag{I_r,0,I_s,0})=r(diag{I_{r+s},0})=r+s

　　直接用极大无关组也可以

　　先取A1的列的极大无关组{u_1,...,u_r}以及A2的极大无关组{v_1,...,v_s}

　　那么把它们适当补0之后（比如[u_1^T,0]^T,[0,v_1^T]^T）可以得到A的列,用定义验证这些列是线性无关的,并且A的每一列都可以由它们线性表示

　　如果有多个对角块,把第一块作为A1,余下的作为A2,对A2用归纳法

2020-05-22 16:20:15

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