【定理：n维空间中任意n个线性无关的向量都可以去做基那么我能-查字典问答网

来自胡松涛的问题

　　【定理：n维空间中任意n个线性无关的向量都可以去做基那么我能不能说无限维空间中任意无穷个线性无关的定理：n维空间中任意n个线性无关的向量都可以去做基那么我能不能说无限维空间】

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　　定理：n维空间中任意n个线性无关的向量都可以去做基

　　那么我能不能说无限维空间中任意无穷个线性无关的向量都可以去做基?

1回答

2020-05-2214:05

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刘若飞

　　>>>>能不能说无限维空间中任意无穷个线性无关的向量都可以去做基?

　　绝对不可以.

　　一个反例是,用Q表示有理数域,考虑可数个Q的copy的直积,

　　V=Q×Q×.

　　用e_i表示只有第i坐标为1,其余都是零的V的元.那么

　　{e_i,i=1,2,.}

　　是V的一个线性无关的子集,但不是V的基.例如元素

　　(1,1,1,1,1,1.)

　　不能写成{e_i}的线性组合.事实上{e_i}在V中生成的子空间是Q的可数重直和

　　Q⊕Q⊕.

　　它是V的一个真(proper)子空间.

　　(注记)

　　1)无穷维的向量空间已有研究,在泛函分析中很常见.但是我没有学过.

　　2)上面的V的维数其实已经大于"可数势",所以显然V的可数子集{e_i,i=1,2,.}不是基.

　　但是即使我们从V中取到线性无关的子集X,使它的势与dim(V)相等,仍然不能结论X是基.例如,选定无穷维向量空间V的一个基B,因为B是无穷集合,可以取到一个与B等势的真子集B',但是B'一定不是V的基.

2020-05-22 14:08:21

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