5已知,两向量组有相同的秩,并且其中之一可以由另一组线性表出-查字典问答网

来自卢德荣的问题

　　5已知,两向量组有相同的秩,并且其中之一可以由另一组线性表出,试证明：这两个向量组等价

1回答

2020-05-2212:38

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侯佰康

　　证:设n维向量组a1,a2,...,as可由向量组b1,b2,...,bt线性表示,且

　　r(a1,a2,...,as)=r(b1,b2,...,bt).

　　由向量组a1,a2,...,as可由b1,b2,...,bt线性表示

　　得r(a1,a2,...,as,b1,b2,...,bt)=r(b1,b2,...,bt)

　　而r(a1,a2,...,as)=r(b1,b2,...,bt),

　　所以r(a1,a2,...,as)=r(a1,a2,...,as,b1,b2,...,bt)

　　所以a1,a2,...,as的极大无关组就是a1,a2,...,as,b1,b2,...,bt的极大无关组

　　所以a1,a2,...,as,b1,b2,...,bt可由a1,a2,...,as线性表示

　　所以b1,b2,...,bt可由a1,a2,...,as线性表示

　　所以两个向量组等价.

2020-05-22 12:43:39

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