高等代数—线性方程组求证：已知两向量组有相同的秩,且其中一组-查字典问答网

来自孙晓光的问题

　　高等代数—线性方程组求证：已知两向量组有相同的秩,且其中一组可以被另一组线性表出,证明：这两个向量组等价.

　　高等代数—线性方程组

　　求证：已知两向量组有相同的秩,且其中一组可以被另一组线性表出,证明：这两个向量组等价.

1回答

2020-05-2211:14

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刘雨时

　　两个向量组A,B的极大线性无关组为a_1...a_r;b_1...b_r;

　　且A可由B线性表出,则a_1...a_r可由b_1...b_r线性表出.

　　现在要证明b_1...b_r可以由a_1...a_r表出.

　　考虑a_1,a_2...a_r,b_i组成的向量组.

　　设a_j=...+u_ji*b_i+...

　　则令a'_j=a_j-u_ji*b_i

　　a'_1...a'_r可由b_1...b_r-1,b_r+1...b_r表出

　　所以a'_1...a'_r线性相关.k_1*a'_1+...=0存在非零解.

　　则k_1*(a_1-u_1i*b_i)+...

　　=k_1*a_1+...+k_r*a_r+(k_1*u_1i+...)*b_i=0有非零解

　　因为a_1...a_r无关,所以易得(k_1*u_1i+...)不为0.

　　所以b_i可以被a_1...a_r线性表出.

2020-05-22 11:15:42

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