假设a1,a2,.am中ak可以用其余向量来表示.k为任意大于等于3小于m的自然数

　　ak=k1*a1+k2*a2+……k(k-1)*a（k-1）+k(k+1)*a（k+1）+……+km*am

　　且k1到km不全为零否则ak为零向量,那么

　　k1*a1+k2*a2+……k(k-1)*a（k-1）+k(k+1)*a（k+1）+……+km*am+k(k)*ak=0时有非零解,则

　　a1,a2,.am线性相关.

　　∴ak=k1*a1+k2*a2+……k(k-1)*a（k-1）+k(k+1)*a（k+1）+……+km*am

　　设l1*a1+l2*a2+……+lk*ak+……lm*am=0

　　l1*a1+l2*a2+……+l1*(k1*a1+k2*a2+……k(k-1)*a（k-1）+k(k+1)*a（k+1）+……+km*am)+……lm*am=0

　　当k1,k2,……km全为-1时上式成立即l1,l2,……lm可以与为0

　　与a1,a2,……am线性无关矛盾.

　　假设线性相关那么k1*a1+k2*a2+……k(k-1)*a（k-1）+k(k+1)*a（k+1）+……+km*am+k(k)*ak=0

　　有非零解假设k（k）不为0

　　那么ak=-a1/k(k)+……+-am/k(k)与条件矛盾.

　　所以为充要条件.