线代基础超扎实的进关于最大无关组我们的课本上有这么一句话：向-查字典问答网

来自李先祥的问题

　　线代基础超扎实的进关于最大无关组我们的课本上有这么一句话：向量组的任意两个最大无关组都是等价的,因而它们所含的向量个数相同.谁能帮忙解释为什么能得出所含的向量个数相同?请

　　线代基础超扎实的进关于最大无关组

　　我们的课本上有这么一句话：

　　向量组的任意两个最大无关组都是等价的,因而它们所含的向量个数相同.

　　谁能帮忙解释为什么能得出所含的向量个数相同?

　　请保证用清晰明确的逻辑和最基本的定理.

1回答

2020-05-2301:32

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贾连娣

　　证明：

　　向量组中任一其它向量都可由最大线性无关组线性表示,且最大线性无关组中向量当然可以由最大无关向量组表示,

　　1若ajÎ{a1,a2,...,ar},则

　　aj=0×a1+0×a2+...+0×aj-1+aj+0×aj+1+...+0×ar,

　　在任一最大线性无关组上任添一个原向量组中的向量,就线性相关,原向量组中任一向量必可由任一最大线性无关组线性表示.

　　向量组中任意向量都能用最大线性无关组线性表出,Ⅰ中任意向量都能用Ⅱ线性表出,Ⅱ中任意向量都能用Ⅰ线性表出,于是Ⅰ与Ⅱ等价.

　　2设向量组Ⅰ与Ⅱ是等价的,且都是线性无关向量组,分

　　别含有r与s个向量,则线性无关向量组Ⅰ可由向量组Ⅱ线性表示,

　　由推论1得r≤s；同样线性无关向量组Ⅱ可经向量组Ⅰ线性表示,

　　r≤s,所以s=r.

2020-05-23 01:33:40

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