【证明：秩为r的向量组中任意r个线性无关的向量都构成它的一个-查字典问答网

来自李谋遵的问题

　　【证明：秩为r的向量组中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.】

　　证明：秩为r的向量组中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.

3回答

2020-05-2222:47

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李长红

　　证:设a1,a2,...,ar是向量组中r个线性无关的向量

　　则对原向量组中任一向量b,

　　b必能由a1,a2,...,ar线性表示.

　　否则a1,a2,...,ar,b线性无关,与原向量组秩为r矛盾

　　所以根据极大无关组的定义,a1,a2,...,ar是一个极大无关组.

2020-05-22 22:52:14

李谋遵

　　请问是不是若向量组的秩为r，那么其中任意的r+1个向量一定线性相关？如果是能不能给我证明一下，谢谢！

2020-05-22 22:55:35

李长红

　　是的.这由向量组的秩的定义就可以知道向量组的秩是其一个极大无关组所含向量的个数."极大"的含义就是不会有含有更多向量的线性无关的部分组.如果向量组中有r+1个向量线性无关,则向量组的秩至少是r+1.具体这样证:因为向量组的秩为r,可设a1,...,ar是向量组的一个极大无关组.对任意r+1个向量b1,...,br+1,则它们可由极大无关组线性表示所以r(b1,...,br+1)

2020-05-22 23:00:19

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