证明：凸n边形（n≥3）的内角和为（n-2）•π．-查字典问答网

来自钱迎雪的问题

　　证明：凸n边形（n≥3）的内角和为（n-2）•π．

1回答

2020-05-2301:13

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钱军民

　　证明：1°n=3时，凸n边形就是三角形，而三角形的三个内角和等于π，所以命题成立．

　　2°设n=k（k＞3）时命题成立，也就是说假设凸k边形时其内角之和等于（k-2）•π．

　　当n=k+1时，这时的凸n边形就是凸k+1边形．我们可以任选定其一个顶点，过这个顶点的两个顶点作凸k+1边形的一条对角线．在这条对角线的两侧一边是三角形，另一侧是一个凸k边形．则凸k+1边形的内角之和恰好等于这个三角形的内角之和加上这个凸k边形的内角之和的总和．

　　所以有凸k+1边形的内角之和=π+（k-2）•π=（k-1）•π

　　这就证明了，当n=k+1时，命题成立．

　　所以，凸n边形（n≥3）的内角和为（n-2）•π．

2020-05-23 01:14:53

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