如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标-查字典问答网

来自李磊的问题

　　如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，0）、（20，0）、（20，10）．在线段AC、AB上各有一动点M、N，则当BM+MN为最小值时，点M的坐标是___．

1回答

2020-05-2014:05

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程本同

　　如图，作点B关于AC的对称点B′，过点B′作OB的垂线垂足即为点N，该垂线与x轴的交点即为点M，则B′N=B′M+MN=BM+MN，B′N的长就是BM+MN的最小值．

　　连接OB′，交DC于P．

　　∵四边形ABCD是矩形，

　　∴DC∥AB，

　　∴∠BAC=∠PCA，

　　∵点B关于AC的对称点是B′，

　　∴∠PAC=∠BAC，

　　∴∠PAC=∠PCA，

　　∴PA=PC．

　　令PA=x，则PC=x，PD=20-x．

　　在Rt△ADP中，∵PA2=PD2+AD2，

　　∴x2=（20-x）2+102，

　　∴x=12.5．

　　∵cos∠B′ON=cos∠OPD，

　　∴ON：OB′=DP：OP，

　　∴ON：20=7.5：12.5，

　　∴ON=12．

　　∵tan∠MON=tan∠OCD，

　　∴MN：ON=OD：CD，

　　∴MN：12=10：20，

　　∴MN=6．

　　∴点M的坐标是（12，6）．

　　故答案为（12，6）．

2020-05-20 14:10:35

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