证明：不失一般性,设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),交点分别为F1(-c,0)、F2(c,0).不失一般性,设不与F1F2共线的椭圆第一象限上任意一点P(x0,y0),则有

　　c^2=a^2-b^2①

　　x0^2/a^2+y0^2/b^2=1②

　　由②得b^2x0^2+a^2y0^2=a^2b^2

　　x^2/a^2+y^2/b^2=1两边对x求导,得

　　2x/a^2+2yy'/b^2=0得y'=-b^2*x/(a^2*y)

　　则过点P的切线方程为y-y0=-b^2*x0/(a^2*y0)*(x-x0)

　　令y=0,解得x=(a^2y0^2+b^2x0^2)/(b^2x0)=a^2b^2/(b^2x0)=a^2/x0

　　则过椭圆上点P(x0,y0)的切线交x轴于点M(a^2/x0,0).于是

　　|F1M|=a^2/x0+c,|F2M|=a^2/x0-c

　　|PF1|=√[(x0+c)^2+y0^2],|PF2|=√[(x0-c)^2+y0^2]

　　则

　　(|F1M|*|PF2|)^2=(a^2/x0+c)^2*[(x0-c)^2+y0^2]

　　(|F2M|*|PF1|)^2=(a^2/x0-c)^2*[(x0+c)^2+y0^2]

　　于是：

　　(|F1M|*|PF2|)^2-(|F2M|*|PF1|)^2=(a^2/x0+c)^2*[(x0-c)^2+y0^2]-(a^2/x0-c)^2*[(x0+c)^2+y0^2]

　　=(a^4/x0^2+2a^2c/x0+c^2)(x0^2-2cx0+c^2+y0^2)-(a^4/x0^2-2a^2c/x0+c^2)(x0^2+2cx0+c^2+y0^2)

　　=2a^2c/x0*(x0^2-2cx0+c^2+y0^2)-2cx0*(a^4/x0^2+2a^2c/x0+c^2)-(-2a^2c/x0)*(x0^2+2cx0+c^2+y0^2)-2cx0*(a^4/x0^2-2a^2c/x0+c^2)

　　=2a^2c/x0*2(x0^2+c^2+y0^2)-2cx0*2(a^4/x0^2+c^2)

　　=4c*[a^2/x0*(x0^2+c^2+y0^2)-x0*(a^4/x0^2+c^2)]

　　=4c*[(a^2x0-c^2x0)+a^2/x0*(c^2-a^2)+a^2y0^2/x0]

　　=4c*[b^2x0-a^2b^2/x0+a^2y0^2/x0]=4c/x0*[b^2x0^2-a^2b^2+a^2y0^2]=0

　　故(|F1M|*|PF2|)^2=(|F2M|*|PF1|)^2

　　|F1M|*|PF2|=|F2M|*|PF1|

　　|PF1|/|PF2|=|F1M|/|F2M|

　　依外角平分线性质定理,知该切线平分焦点三角形PF1F2的外角.