开普勒第一定律的证明设太阳与行星质量分别M和m，取平面极作标系，行星位置用（r,α）来描述。如图行星位置矢量是垂直单位矢量。行星受太阳引力为F=-(GMm/r)r°首先证明行星一定在同一平面内运动，有牛顿第二定律：F=m(dv/dt)力矩r×F=-(GMm/r)r°×r°=0.即r×(dv/dt)=0。d(r×v)/dt=×v+r×dv/dt=0。积分，得r×v=h(常矢量)上式表明，行星径矢r始终与常矢量h正交，故行星一定在同一平面内运动。为了得出行星运动的轨迹，采用图中平面极坐标方向，取静止的太阳为极点o，行星位置为(r,α).在平面极坐标中，行星运动有关物理量如下：径行r=r·r°；速度v=dr/dt=(dr/dt)·r°+r·(dα/dt)·α°r°是径向单位矢量，α°为径向垂直单位矢量。dr/dt是径向速度分量，r·(dα/dt)是横向速度分量速度大小满足v²=(dr/dt)²+(r·(dα/dt))²动量mv=m(dr/dt)+m(r·(dα/dt))角动量L=r×mv=m•r²(dα/dt)•(r°×α°)得L=m•r²•(dα/dt)行星所受的太阳引力指向o点，故对o点力矩M=0，由角动量定理，知角动量守恒。L为常量太阳行星系统的机界能守恒，设系统总能量为E，则E=½mv²-GMm/r因α/dt=L/mv²dr/dt=(L/mv²)(dr/dα)代入上式(L²/m²r²r²)(dr/dα)²+L²/m²r=2E/m+2GM/r上边两式同乘m²/L²，得dr²/dα²r²r²+1/r²=2mE/L²+2Mm²/L²r为了简化式子，令ρ=1/r.则dr/dα=-r²(dρ/dα)于是方程变为（dr/dα）²+ρ²-2Gm²Mρ/L²=2mE/L²上式对α求导。并注意E与L为常量。得2（dr/dα）（d²r/dα²）+2ρ(dρ/dα)-GMm/L²(dρ/dα)=0在通过数学推导便得出开普勒第一定律