三角形相关定理

　　重心定理

　　三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．

　　上述交点叫做三角形的重心.

　　外心定理

　　三角形的三边的垂直平分线交于一点．

　　这点叫做三角形的外心.

　　垂心定理

　　三角形的三条高交于一点．

　　这点叫做三角形的垂心.

　　内心定理

　　三角形的三内角平分线交于一点．

　　这点叫做三角形的内心.

　　旁心定理

　　三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．

　　这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．

　　三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．

　　它们都是三角形的重要相关点．

　　中位线定理

　　三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．

　　三边关系定理

　　三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边．

　　三角形面积计算公式

　　S(面积)=a(边长)h(高)/2---三角形面积等于一边与这边上的高的积的一半

　　[编辑本段]勾股定理

　　在Rt三角形ABC中,A≤90度,则

　　AB·AB+AC·AC=BC·BC

　　A〉90度,则

　　AB·AB+AC·AC>BC·BC

　　[编辑本段]梅涅劳斯定理

　　梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的.它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1.

　　证明：

　　过点A作AG‖BC交DF的延长线于G,

　　则AF/FB=AG/BD,BD/DC=BD/DC,CE/EA=DC/AG.

　　三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1

　　它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上,且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1,则F、D、E三点共线.利用这个逆定理,可以判断三点共线.

　　另外,有很多人会觉得书写这个公式十分烦琐,不看书根本记不住,下面从别人转来一些方法帮助书写

　　为了说明问题,并给大家一个深刻印象,我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点,各景点之间有公路相连.我们乘直升机飞到这些景点的上空,然后选择其中的任意一个景点降落.我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩,最后回到出发点,直升机就停在那里等待我们回去.

　　我们不必考虑怎样走路程最短,只要求必须“游历”了所有的景点.只“路过”而不停留观赏的景点,不能算是“游历”.

　　例如直升机降落在A点,我们从A点出发,“游历”了其它五个字母所代表的景点后,最终还要回到出发点A.

　　另外还有一个要求,就是同一直线上的三个景点,必须连续游过之后,才能变更到其它直线上的景点.

　　从A点出发的旅游方案共有四种,下面逐一说明：

　　方案①——从A经过B（不停留）到F（停留）,再返回B（停留）,再到D（停留）,之后经过B（不停留）到C（停留）,再到E（停留）,最后从E经过C（不停留）回到出发点A.

　　按照这个方案,可以写出关系式：

　　（AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1.

　　现在,您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公式了吧.

　　从A点出发的旅游方案还有：

　　方案②——可以简记为：A→B→F→D→E→C→A,由此可写出以下公式：

　　（AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1.从A出发还可以向“C”方向走,于是有：

　　方案③——A→C→E→D→F→B→A,由此可写出公式：

　　（AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1.从A出发还有最后一个方案：

　　方案④——A→E→C→D→B→F→A,由此写出公式：

　　（AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1.

　　我们的直升机还可以选择在B、C、D、E、F任一点降落,因此就有了图中的另外一些公式.

　　值得注意的是,有些公式中包含了四项因式,而不是“梅涅劳斯定理”中的三项.当直升机降落在B点时,就会有四项因式.而在C点和F点,既会有三项的公式,也会有四项的公式.公式为四项时,有的景点会游览了两次.

　　不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的,只是列出了一两个典型的公式给我们看看.

　　现在是否可以说,我们对梅涅劳斯定理有了更深刻的了解呢.那些复杂的相除相乘的关系式,不会再写错或是记不住吧.

　　[编辑本段]塞瓦定理

　　塞瓦定理

　　设O是△ABC内任意一点,

　　AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

　　证法简介

　　（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：

　　∵△ADC被直线BOE所截,

　　∴CB/BD*DO/OA*AE/EC=1①

　　而由△ABD被直线COF所截,∴BC/CD*DO/OA*AF/BF=1②

　　②÷①:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

　　（Ⅱ）也可以利用面积关系证明

　　∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC③

　　同理CE/EA=S△BOC/S△AOB④AF/FB=S△AOC/S△BOC⑤

　　③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

　　利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:

　　设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F,

　　根据塞瓦定理逆定理,因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/

　　[(AE*ctgB)]=1,所以三条高CD、AE、BF交于一点