设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续,在开区间(a,b)内-查字典问答网

来自彭波的问题

　　设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0.设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0.求证：至少存在η∈（a,b）,使ηf(η)+f'(η)=0.

　　设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0.

　　设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0.求证：至少存在η∈（a,b）,使ηf(η)+f'(η)=0.

3回答

2020-05-1101:44

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胡文琴

　　令F(x)=xf(x)F'(x)=f(x)+xf'(x)

　　显然满足罗尔定理的前2个条件

　　又因为

　　F(a)=F(b)=0

　　所以

　　至少存在一点η∈（a,b）

　　使得

　　F'(η)=0

　　即

　　ηf(η)+f'(η)=0.

2020-05-11 01:47:21

彭波

　　F'(η)=0是f(η)+ηf'(η）=0啊，跟题目要求证的貌似不一样

2020-05-11 01:48:31

胡文琴

　　嗯，看错了，下面重新构造：ηf(η)+f'(η)=0.df(x)/dx=-xf(x)1/f(x)df(x)=-xdx积分，得ln|f(x)|=-x²/2+ln|c|f(x)=ce^(-x²/2)e^(x²/2)f(x)=c令F(x)=e^(x²/2)f(x)

2020-05-11 01:50:01

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