求证：已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，a，b∈R-查字典问答网

来自高世忠的问题

　　求证：已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，a，b∈R，若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），则a+b≥0．

1回答

2020-05-0823:38

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程洪

　　证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，a，b∈R，若a+b＜0，则f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）”．

　　若a+b＜0，则a＜-b，b＜-a，

　　又∵f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，

　　∴f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a），

　　∴f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）．

　　即原命题的逆否命题为真命题，

　　∴原命题为真命题．

　　法二：假设a+b＜0，则a＜-b，b＜-a，

　　又∵f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，

　　∴f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a），

　　∴f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），

　　这与已知f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）相矛盾，

　　因此假设不成立，故a+b≥0．

2020-05-08 23:39:39

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