设想在重力作用下,一个物体缓慢从地面升至高度h处.

　　在有限高度内,重力可视为恒量mg.不随高度的变化而变化.

　　因此重力对物体所做的功为-mgh.（重力与位移方向相反,所以功为负）

　　重力属于保守力,保守力所做的功+保守力势能=常量.

　　因此,重力势能的表达式为mgh.（以地面为势能零点）

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　　而对一个弹性系统,弹性恢复力F=-kx.

　　（k为弹性恢复系数,x表示离开平衡位置的距离）.

　　与重力不同,弹性恢复力不是常量,随着位移x的变化而变化.

　　因此这个题目需要微积分知识的基础.

　　距离平衡位置为x时,恢复力为F=-kx,负号表示恢复力的方向是指向平衡位置.其中k为弹性恢复系数.

　　从平衡位置到达x位置,恢复力所做的功为恢复力与位移乘积从0到x的定积分.即

　　W=∫F*dx=∫-kx*dx=-kx^2/2（从0到x）=-kx^2/2-0=-kx^/2

　　恢复力属于弹性系统的内力,和重力一样,也属于保守力.

　　保守力所做的功=保守势能变化的负值

　　以平衡位置为势能零参考点.因此

　　弹性势能E=-W=kx^2/2

　　做F---x关系曲线.从这条直线的起点和终点分别向x轴做垂线.

　　那么由这两条垂线、x轴、F--x曲线围成了一个闭合图形.

　　这个图形的面积就是力F所做的功W.

　　上面讲的这段在中学接触过没?如果没有的话,那就直接承认.对于知识储备不足而尚不能证明的理论,先暂且直接承认,这也是常用的学习方法.

　　对于本题目,

　　以弹性力F=-kx作为y轴,

　　以伸缩量x作为x轴

　　F--x“曲线”是通过坐标原点的一条直线.

　　经从该直线的起点和终点向x轴做投影后,得到第四象限的一个三角形.

　　三角形的面积为

　　S=底*高/2=(x-0)*kx/2=kx^2/2

　　由于力的方向与位移方向相反（同时也因为是在x轴下方）,所以F所做的功是面积的负值,即

　　W=-S=-kx^2/2

　　而弹性势能为

　　E=-W=kx^2/2

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　　为什么说图像的面积就是弹簧弹性势能呢?

　　弹性势能的公式是中学阶段一个非常“基本”的物理公式,但在教科书上却见不到其推导过程.原因就在于其推导过程超出了中学生的知识范围.

　　求知欲强的学生总是希望能知道其推导过程.但是把推导过程给出后,因为知识基础不够用,所以看不懂,会产生各种疑问.当这些疑问解决不了的时候,希望不要心急,因为你的知识储备不足.

　　简单回答你的疑问.

　　因变量F作为自变量x的函数,该曲线下的面积就是F所做的功.这是一个数学结论.

　　你可以设想,假设F是一个常量.那么经过位移x-x0后,F所做的功就是F*(x-x0).现在把这个结论数学化!依然做F-x函数图象.那么图象是一条与x轴平行的直线.该直线距离x轴的距离就是F.因此功F(x-x0)就在该函数图象上对应着一个矩形的面积,而该矩形由从F直线的起点和终点向x轴做投影而形成.

　　上一段讨论中F是一个常量.F所做的功的表达式也因此很简单.而当函数图象不在是与x轴平行时,F所做的功就等于F关于x的积分.而“积分”这个数学概念在中学阶段还没有接触,所以你会很难理解.而在数学上,“积分”的结果依然是函数曲线向x轴做投影后所围成的图形的面积.