设a,b,c为正实数,且abc=1,求证：1/a^3(b+c-查字典问答网

来自付旭的问题

　　设a,b,c为正实数,且abc=1,求证：1/a^3(b+c)+1/b^3(c+a)+1/c^3(a+b)大于或等于3/2

1回答

2020-05-0621:50

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孙斌

　　证明：

　　1/[a^3(b+c)]=(bc)^3/(b+c),

　　(bc)^3/(b+c)+1/4(b+c)/(bc)≥bc(均值不等式）

　　(bc)^3/(b+c)≥bc-1/4(b+c)/(bc)=bc-1/4(1/c+1/b)=1/4(4bc-ab-ac),即

　　1/[a^3(b+c)]≥1/4(4bc-ab-ac),同理

　　1/[b^3(a+c)]≥1/4(4ac-bc-ab),

　　1/[c^3(a+b)]≥1/4(4ab-ac-bc),

　　上述三式相加,

　　1/[a^3(b+c)]+1/[b^3(a+c)]+1/[c^3(a+b)]

　　≥1/2(ab+bc+ca)≥1/2*3*(abc)^(2/3)=3/2,故命题得证.

2020-05-06 21:52:53

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