【如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，B-查字典问答网

来自韩玉琴的问题

　　【如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的长．小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：（1）分】

　　如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的长．

　　小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．

　　请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：

　　（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；

　　（2）设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．

1回答

2020-05-0611:55

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戚晓芳

　　（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．（1分）

　　∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°．

　　∴∠EAF=90°．（3分）

　　又∵AD⊥BC，

　　∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．（4分）

　　又∵AE=AD，AF=AD，

　　∴AE=AF．（5分）

　　∴四边形AEGF是正方形．（6分）

　　（2）设AD=x，则AE=EG=GF=x，（7分）

　　∵BD=2，DC=3，

　　∴BE=2，CF=3．

　　∴BG=x-2，CG=x-3．（9分）

　　在Rt△BGC中，BG2+CG2=BC2

　　∴（x-2）2+（x-3）2=52（11分），

　　∴（x-2）2+（x-3）2=52，化简得，x2-5x-6=0．

　　解得x1=6，x2=-1（舍），

　　所以AD=x=6（12分）．

2020-05-06 11:56:32

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