用均值不等式证明a^2/b+c+b^2/a+c+c^2/a+-查字典问答网

来自樊锡德的问题

　　用均值不等式证明a^2/b+c+b^2/a+c+c^2/a+b>a+b+c/2

1回答

2020-05-0620:30

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蔡向东

　　请注意括号的正确使用,以免造成误解.　同时,条件中应该强调a、b、c是不等的正数.

　　∵a^2/（b＋c）＋（b＋c）/4＞2√｛［a^2/（b＋c）］［（b＋c）/4］｝＝a,

　　　b^2/（a＋c）＋（a＋c）/4＞2√｛［b^2/（a＋c）］［（a＋c）/4］｝＝b,

　　　c^2/（b＋c）＋（b＋c）/4＞2√｛［c^2/（b＋c）］［（b＋c）/4］｝＝c.

　　∴a^2/（b＋c）＋b^2/（a＋c）＋c^2/（b＋c）＋（a＋b＋c）/2＞a＋b＋c,

　　∴a^2/（b＋c）＋b^2/（a＋c）＋c^2/（b＋c）＞（a＋b＋c）/2.

　　注：a、b、c为不等正数是必要的,否则,均值不等式不成立.

　　且当a＝b＝c＞0时,a^2/（b＋c）＋b^2/（a＋c）＋c^2/（b＋c）＝（a＋b＋c）/2.

2020-05-06 20:34:05

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