证明bernoulli不等式,好像是要用到算数平均值跟几何平-查字典问答网

来自林作铨的问题

　　证明bernoulli不等式,好像是要用到算数平均值跟几何平均值

1回答

2020-05-0422:52

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牛忠霞

　　Bernoulli不等式：

　　(1+x1)(1+x2)…(1+xn)≥1+x1+x2+…+xn,其中xi是符号相同且大于-1的数

　　证明：

　　才用数学归纳法：

　　当n=1时,此时1+x1=1+x1,当然有1+x1≥1+x1成立

　　设n=k时,不等式成立,即：(1+x1)(1+x2)…(1+xk)≥1+x1+x2+…+xk

　　则对于n=k+1,由于xi>-1,则1+xi>0,则有

　　(1+x1)(1+x2)…(1+xk)(1+x(k+1))

　　≥(1+x1+x2+…+xk)(1+x(k+1))

　　=(1+x1+x2+…+xk+x(k+1))+(x1x(k+1)+…+xkx(k+1))

　　≥1+x1+x2+…+xk+x(k+1)

　　即,(1+x1)(1+x2)…(1+xk)(1+x(k+1))≥1+x1+x2+…+xk+x(k+1)成立

　　于是,(1+x1)(1+x2)…(1+xn)≥1+x1+x2+…+xn,其中xi是符号相同且大于-1的数

　　特别地,当x1=x2=…=xn=h时,有(1+h)^n≥1+nh,h>-1

　　有不懂欢迎追问

2020-05-04 22:56:30

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