复变函数论的奠基人19世纪数学最独特的创造是复变函数理论的创立,它是18世纪人们对复数及复函数理论研究的延续.1850年以前,柯西、雅可比、高斯、阿贝尔、维尔斯特拉斯已对单值解析函数的理论进行了系统的研究,而对于多值函数仅有柯西和皮瑟有些孤立的结论.

　　1851年,黎曼在高斯的指导下完成题为《单复变函数的一般理论的基础》的博士论文,后来又在《数学杂志》上发表了四篇重要文章,对其博士论文中思想的做了进一步的阐述,一方面总结前人关于单值解析函数的成果,并用新的工具予以处理,同时创立多值解析函数的理论基础,并由此为几个不同方向的进展铺平了道路.

　　柯西、黎曼和维尔斯特拉斯是公认的复变函数论的主要奠基人,而且后来证明在处理复函数理论的方法上黎曼的方法是本质的,柯西和黎曼的思想被融合起来,维尔斯特拉斯的思想可以从柯西—黎曼的观点推导出来.

　　在黎曼对多值函数的处理中,最关键的是他引入了被后人称“黎曼面”的概念.通过黎曼面给多值函数以几何直观,且在黎曼面上表示的多值函数是单值的.他在黎曼面上引入支点、横剖线、定义连通性,开展对函数性质的研究获得一系列成果.

　　经黎曼处理的复函数,单值函数是多值函数的待例,他把单值函数的一些已知结论推广到多值函数中,尤其他按连通性对函数分类的方法,极大地推动了拓扑学的初期发展.他研究了阿贝尔函数和阿贝尔积分及阿贝尔积分的反演,得到著名的黎曼—罗赫定理,首创的双有理变换构成19世纪后期发展起来的代数几何的主要内容.

　　黎曼为完善其博士论文,在结束时给出其函数论在保形映射的几个应用,将高斯在1825年关于平面到平面的保形映射的结论推广到任意黎曼面上,并在文字的结尾给出著名的黎曼映射定理.黎曼几何的创始人黎曼对数学最重要的贡献还在于几何方面,他开创的高维抽象几何的研究,处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命,他建立了一种全新的后来以其名字命名的几何体系,对现代几何乃至数学和科学各分支的发展都产生了巨大的影响.

　　1854年,黎曼为了取得哥廷根大学编外讲师的资格,对全体教员作了一次演讲,该演讲在其逝世后的两年(1868年)以《关于作为几何学基础的假设》为题出版.演讲中,他对所有已知的几何,包括刚刚诞生的非欧几何之一的双曲几何作了纵贯古今的概要,并提出一种新的几何体系,后人称为黎曼几何.

　　为竞争巴黎科学院的奖金,黎曼在1861年写了一篇关于热传导的文章,这篇文章后来被称为他的“巴黎之作”.文中对他1854年的文章作了技术性的加工,进一步阐明其几何思想.该文在他死后收集在1876年他的《文集》中.

　　黎曼主要研究几何空间的局部性质,他采用的是微分几何的途径,这同在欧几里得几何中或者在高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的非欧几何中把空间作为一个整体进行考虑是对立的.黎曼摆脱高斯等前人把几何对象局限在三维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚,从维度出发,建立了更一般的抽象几何空间.

　　黎曼引入流形和微分流形的概念,把维空间称为一个流形,维流形中的一个点可以用个可变参数的一组特定值来表示,而所有这些点的全体构成流形本身,这个可变参数称为流形的坐标,而且是可微分的,当坐标连续变化时,对应的点就遍历这个流形.

　　黎曼仿照传统的微分几何定义流形上两点之间的距离、流形上的曲线、曲线之间的夹角.并以这些概念为基础,展开对维流形几何性质的研究.在维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻划曲面弯曲程度的曲率.他证明他在维流形上维数等于三时,欧几里得空间的情形与高斯等人得到的结果是一致的,因而黎曼几何是传统微分几何的推广.

　　黎曼发展了高斯关于一张曲面本身就是一个空间的几何思想,开展对维流形内蕴性质的研究.黎曼的研究导致另一种非欧几何——椭圆几何学的诞生.

　　在黎曼看来,有三种不同的几何学.它们的差别在于通过给定一点做关于定直线所作平行线的条数.如果只能作一条平行线,即为熟知的欧几里得几何学；如果一条都不能作,则为椭圆几何学；如果存在一组平行线,就得到第三种几何学,即罗巴切夫斯基几何学.黎曼因此继罗巴切夫斯基以后发展了空间的理论,使得一千多年来关于欧几里得平行公理的讨论宣告结束.他断言,客观空间是一种特殊的流形,预见具有某种特定性质的流形的存在性.这些逐渐被后人一一予以证实.

　　由于黎曼考虑的对象是任意维数的几何空间,对复杂的客观空间有更深层的实用价值.所以在高维几何中,由于多变量微分的复杂性,黎曼采取了一些异于前人的手段使表述更简洁,并最终导致张量、外微分及联络等现代几何工具的诞生.爱因斯坦就是成功地以黎曼几何为工具,才将广义相对论几何化.现在,黎曼几何已成为现代理论物理必备的数学基础.微积分理论的创造性贡献黎曼除对几何和复变函数方面的开拓性工作以外,还以其对l9世纪初兴起的完善微积分理论的杰出贡献载入史册.

　　18世纪末到l9世纪初,数学界开始关心数学最庞大的分支——微积分在概念和证明中表现出的不严密性.波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克莱进而到维尔斯特拉斯,都以全力的投入到分析的严密化工作中.黎曼由于在柏林大学从师狄利克莱研究数学,且对柯西和阿贝尔的工作有深入的了解,因而对微积分理论有其独到的见解.

　　1854年黎曼为取得哥廷根大学编外讲师的资格,需要他递交一篇反映他学术水平的论文.他交出的是《关于利用三角级数表示一个函数的可能性的》文章.这是一篇内容丰富、思想深刻的杰作,对完善分析理论产生深远的影响.

　　柯西曾证明连续函数必定是可积的,黎曼指出可积函数不一定是连续的.关于连续与可微性的关系上,柯西和他那个时代的几乎所有的数学家都相信,而且在后来50年中许多教科书都“证明”连续函数一定是可微的.黎曼给出了一个连续而不可微的著名反例,最终讲清连续与可微的关系.

　　黎曼建立了如现在微积分教科书所讲的黎曼积分的概念,给出了这种积分存在的必要充分条件.

　　黎曼用自己独特的方法研究傅立叶级数,推广了保证博里叶展开式成立的狄利克莱条件,即关于三角级数收敛的黎曼条件,得出关于三角级数收敛、可积的一系列定理.他还证明：可以把任一条件收敛的级数的项适当重排,使新级数收敛于任何指定的和或者发散.解析数论跨世纪的成果19世纪数论中的一个重要发展是由狄利克莱开创的解析方法和解析成果的导入,而黎曼开创了用复数解析函数研究数论问题的先例,取得跨世纪的成果.

　　1859年,黎曼发表了《在给定大小之下的素数个数》的论文.这是一篇不到十页的内容极其深到的论文,他将素数的分布的问题归结为函数的问题,现在称为黎曼函数.黎曼证明了函数的一些重要性质,并简要地断言了其它的性质而未予证明.

　　在黎曼死后的一百多年中,世界上许多最优秀的数学家尽了最大的努力想证明他的这些断言,并在作出这些努力的过程中为分析创立了新的内容丰富的新分支.如今,除了他的一个断言外,其余都按黎曼所期望的那样得到了解决.

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