均值不等式

　　几个重要不等式(一)

　　一、平均值不等式

　　设a1,a2,…,an是n个正实数,则,当且仅当a1=a2=…=an时取等号

　　1.二维平均值不等式的变形

　　(1)对实数a,b有a2+b2³2ab(2)对正实数a,b有

　　(3)对b>0,有,(4)对ab2>0有,

　　(5)对实数a,b有a(a-b)³b(a-b)(6)对a>0,有

　　(7)对a>0,有(8)对实数a,b有a2³2ab-b2

　　(9)对实数a,b及l¹0,有

　　二、例题选讲

　　例1.证明柯西不等式

　　证明：法一、若或命题显然成立,对¹0且¹0,取

　　代入(9)得有

　　两边平方得

　　法二、,即二次式不等式恒成立

　　则判别式

　　例2.已知a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明：

　　(1)

　　(2)

　　证明：(1)左=[]

　　=

　　³

　　(2)由知

　　同理：

　　相加得：左³

　　例3.求证：

　　证明：法一、取,有

　　a1(a1-b)³b(a1-b),a2(a2-b)³b(a2-b),…,an(an-b)³b(an-b)

　　相加得(a12+a22+…+an2)-(a1+a2+…+an)b³b[(a1+a2+…+an)-nb]³0

　　所以

　　法二、由柯西不等式得：(a1+a2+…+an)2=((a1×1+a2×1+…+an×1)2£(a12+a22+…+an2)(12+12+…+12)

　　=(a12+a22+…+an2)n,

　　所以原不等式成立

　　例4.已知a1,a2,…,an是正实数,且a1+a2+…+an0,

　　则原不等式即nn+1a1a2…an+1£(1-a1)(1-a2)…(1-an)

　　1-a1=a2+a3+…+an+1³n

　　1-a2=a1+a3+…+an+1³n

　　…………………………………………

　　1-an+1=a1+a1+…+an³n

　　相乘得(1-a1)(1-a2)…(1-an)³nn+1

　　例5.对于正整数n,求证：

　　证明：法一、

　　>

　　法二、左=

　　=

　　例6.已知a1,a2,a3,…,an为正数,且,求证：

　　(1)

　　(2)

　　证明：(1)

　　相乘左边³=(n2+1)n

　　证明(2)

　　左边=-n+2(

　　=-n+2×[(2-a1)+(2-a2)+…+(2-an)](

　　³-n+2×n