【A、B是椭圆上的点，O为原点，OA与OB斜率的乘积等于-2-查字典问答网

来自钱兰的问题

　　【A、B是椭圆上的点，O为原点，OA与OB斜率的乘积等于-2，．（I）求证：点C在另一个椭圆上；（II）求四边形OACB的面积．】

　　A、B是椭圆上的点，O为原点，OA与OB斜率的乘积等于-2，．

　　（I）求证：点C在另一个椭圆上；

　　（II）求四边形OACB的面积．

1回答

2020-05-0100:59

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常晓宇

　　分析：

　　（I）先设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x，y），结合直线的斜率公式得kOA?kOB，再利用向量关系式得到：x=x1+x2，y=y1+y1，最后得到点C的坐标适合椭圆的方程，从而证得点C在另一个椭圆上；（II）设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为-，点A坐标方程组，|x1+x2|=．|OA|=|，tan∠AOB=|，再由S=2S△AOB=|OA||OB|sin∠AOB=，能求出四边形OACB的面积．

　　（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x，y），则x12+=1，且kOA?kOB==0，…（2分）），于是x=x1+x2，y=y1+y1，∴x2+=（x1+x2）2+=x12+=2，于是，=1上． …（5分）（II）设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为-，点A坐标方程组，∴|x1+x2|=．…（8分）|OA|=|，tan∠AOB=|，S=2S△AOB=|OA||OB|sin∠AOB====．

　　点评：

　　本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．