来自娄渊胜的问题
设连续随机变量X的分布函数F(x),且数学期望存在,证明:E(X)=∫∞0[1-F(x)]dx-∫0-∞F(x)dx
设连续随机变量X的分布函数F(x),且数学期望存在,证明:E(X)=∫∞0[1-F(x)]dx-∫0-∞F(x)dx
证明：右边=∫[0→+∞][1-F(x)]dx-∫[-∞→0]F(x)dx
下面用分部积分
=x[1-F(x)]|[0→+∞]+∫[0→+∞]xF'(x)dx-xF(x)|[-∞→0]+∫[-∞→0]xF'(x)dx
=0+∫[0→+∞]xf(x)dx-0+∫[-∞→0]xf(x)dx
=∫[-∞→+∞]xf(x)dx
=E(x)=左边
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