求双曲线与渐近线、坐标原点的距离最小值双曲线4x^2-y^2-查字典问答网

来自刘明黎的问题

　　求双曲线与渐近线、坐标原点的距离最小值双曲线4x^2-y^2=1上的动点P(x,y)到两渐近线的距离分别为d1、d2,到双曲线中心的距离为d3,试求d1+d2+d3的最小值.（你也可以画图上来看看,）我不是她舅的

　　求双曲线与渐近线、坐标原点的距离最小值

　　双曲线4x^2-y^2=1上的动点P(x,y)到两渐近线的距离分别为d1、d2,到双曲线中心的距离为d3,试求d1+d2+d3的最小值.（你也可以画图上来看看,）

　　我不是她舅的答案是错误的！

1回答

2020-04-2623:53

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耿平

　　过P做渐近线的垂线

　　和渐近线构成矩形

　　则PO是他的对角线

　　设到渐近线的距离是m和n

　　则三个d相加=a+b+√(a²+b²)

　　a+b>=2√(ab)

　　√(a²+b²)>=√(2ab)

　　都是a=b取等号

　　所以a=b时最小

　　到渐近线的距离相等,则此时P在顶点

　　x²/(1/4)-y²=1

　　a=1/2

　　右顶点(1/2,0)

　　b/a=2

　　所以渐近线y=±2x

　　所以距离=|1-0|/√(2²+1²)=1/√5

　　即a=b=1/√5

　　最小值=2√(ab)+2√(2ab)=(2√5+√10)/5

2020-04-26 23:58:12

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