已知函数f（x）=ex+a2x2+bx-1．（I）讨论导函数-查字典问答网

来自鲍文戬的问题

　　已知函数f（x）=ex+a2x2+bx-1．（I）讨论导函数f′（x）在区间（0，1）上的单调性；（Ⅱ）当f（1）=0时，函数f（x）在区间（0，1）上有零点，求实数a的取值范围．

　　已知函数f（x）=ex+a2x2+bx-1．

　　（I）讨论导函数f′（x）在区间（0，1）上的单调性；

　　（Ⅱ）当f（1）=0时，函数f（x）在区间（0，1）上有零点，求实数a的取值范围．

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2020-04-2418:16

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刘永超

　　（Ⅰ）f′（x）=ex+ax+b，

　　∴f″（x）=ex+a，

　　①当a≥0时，ex+a>0恒成立，

　　∴f′（x）为单调递增函数，

　　②当a≤-e时，由于x∈（0，1），则ex∈（1，e），

　　∴f″（x）=ex+a<0，

　　∴f′（x）为单调递减函数，

　　③当-1≤a<0时，

　　∴f″（x）=ex+a>0，

　　∴f′（x）为单调递增函数，

　　④当-e<a<-1时，

　　令f″（x）>0，解得x>ln（-a），

　　即x∈（ln（-a），1），f′（x）为单调递增函数，

　　即x∈（0，ln（-a）），f′（x）为单调递减函数，

　　综上所述：当a≥-1时，f′（x）为单调递增函数，

　　当a≤-e时，f′（x）为单调递减函数，

　　当-e<a<-1时，f′（x）在（ln（-a），1）单调递增函数，

　　f′（x）在（0，ln（-a））单调递减函数，

　　（Ⅱ）由f（1）=0，可得e+a2

2020-04-24 18:21:42

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