对数函数

　　对数函数的一般形式为,它实际上就是指数函数的反函数.因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数.

　　右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

　　可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数.

　　（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合.

　　（2）对数函数的值域为全部实数集合.

　　（3）函数总是通过（1,0）这点.

　　（4）a大于1时,为单调递增函数,并且上凸；a小于1大于0时,函数为单调递减函数,并且下凹.

　　（5）显然对数函数无界.

　　指数函数

　　指数函数的一般形式为,从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得

　　如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况.

　　可以看到：

　　（1）指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑.

　　（2）指数函数的值域为大于0的实数集合.

　　（3）函数图形都是下凹的.

　　（4）a大于1,则指数函数单调递增；a小于1大于0,则为单调递减的.

　　（5）可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0）,函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置.其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置.

　　（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交.

　　（7）函数总是通过（0,1）这点.

　　（8）显然指数函数无界.

　　奇偶性

　　注图：（1）为奇函数（2）为偶函数

　　1．定义

　　一般地,对于函数f(x)

　　（1）如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=－f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.

　　（2）如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.

　　（3）如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数.

　　（4）如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数.

　　说明：①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言

　　②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不是奇（或偶）函数.

　　（分析：判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）

　　③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义

　　2．奇偶函数图像的特征：

　　定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数的图象关于y轴或轴对称图形.

　　f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对称

　　点（x,y）→（-x,-y）

　　奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增.

　　偶函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减.

　　3.奇偶函数运算

　　(1).两个偶函数相加所得的和为偶函数.

　　(2).两个奇函数相加所得的和为奇函数.

　　(3).一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.

　　(4).两个偶函数相乘所得的积为偶函数.

　　(5).两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

　　(6).一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

　　定义域

　　（高中函数定义）设A,B是两个非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x属于集合A.其中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的定义域；

　　值域

　　名称定义

　　函数中,应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合

　　常用的求值域的方法

　　（1）化归法；（2）图象法（数形结合）,

　　（3）函数单调性法,

　　（4）配方法,（5）换元法,（6）反函数法（逆求法）,（7）判别式法,（8）复合函数法,（9）三角代换法,（10）基本不等式法等

　　关于函数值域误区

　　定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”.平时数学中,实行“定义域优先”的原则,无可置疑.然而事物均具有二重性,在强化定义域问题的同时,往往就削弱或谈化了,对值域问题的探究,造成了一手“硬”一手“软”,使学生对函数的掌握时好时坏,事实上,定义域与值域二者的位置是相当的,绝不能厚此薄皮,何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）.如果函数的值域是无限集的话,那么求函数值域不总是容易的,反靠不等式的运算性质有时并不能奏效,还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况.才能获得正确答案,从这个角度来讲,求值域的问题有时比求定义域问题难,实践证明,如果加强了对值域求法的研究和讨论,有利于对定义域内函的理解,从而深化对函数本质的认识.

　　“范围”与“值域”相同吗?

　　“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念,许多同学常常将它们混为一谈,实际上这是两个不同的概念.“值域”是所有函数值的集合（即集合中每一个元素都是这个函数的取值）,而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都满足这个条件）.也就是说:“值域”是一个“范围”,而“范围”却不一定是“值域”.