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  七桥问题

  七桥问题

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2020-04-1912:38
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卢国明

  18世纪,东普鲁士的首府哥尼斯堡是一座景色迷人的城市,普莱格尔河横贯城区,使这

  座城市锦上添花,显得更加风光旖旋.这条河有两条支流,在城中心汇成大河,在河的

  中央有一座美丽的小岛.河上有七座各具特色的桥把岛和河岸连接起来.

  每到傍晚,许多人都来此散步.人们漫步于这七座桥之间,久而久之,就形成了这样一

  个问题:能不能既不重复又不遗漏地一次相继走遍这七座桥?这就是闻名遐迩的“哥尼

  斯堡七桥问题.”每一个到此游玩或散心的人都想试一试,可是,对于这一看似简单的

  问题,没有一个人能符合要求地从七座桥上走一遍.这个问题后来竟变得神乎其神,说

  是有一支队伍,奉命要炸毁这七座桥,并且命令要他们按照七桥问题的要求去炸.

  七桥问题也困扰着哥尼斯堡大学的学生们,在屡遭失败之后,他们给当时著名数学家欧

  拉写了一封信,请他帮助解决这个问题.

  欧拉看完信后,对这个问题也产生了浓厚的兴趣.他想,既然岛和半岛是桥梁的连接地

  点,两岸陆地也是桥梁的连接地点,那就不妨把这四处地方缩小成四个点,并且把这七

  座桥表示成七条线.这样,原来的七桥问题就抽象概括成了如下的关系图:

  这显然并没有改变问题的本质特征.于是,七桥问题也就变成了一个一笔画的问题,即

  :能否笔不离纸,不重复地一笔画完整个图形.这竟然与孩子们的一笔画游戏联系起来

  了.接着,欧拉就对“一笔画”问题进行了数学分析一笔画有起点和终点,起点和终点

  重合的图形称为封闭图形,否则便称为开放图形.除起点和终点外,一笔画中间可能出

  现一些曲线的交点.欧拉注意到,只有当笔沿着一条弧线到达交点后,又能沿着另一条

  弧线离开,也就是交汇于这些点的弧线成双成对时,一笔画才能完成,这样的交点就称

  为“偶点”.如果交汇于这些点的弧线不是成双成对,也就是有奇数条,则一笔画就不

  能实现,这样的点又叫做“奇点”.见下图:

  欧拉通过分析,得到了下面的结论:若是一个一笔画图形,要么只有两个奇点,也就是

  仅有起点和终点,这样一笔画成的图形是开放的;要么没有奇点,也就是终点和起点连

  接起来,这样一笔画成的图形是封闭的.由于七桥问题有四个奇点,所以要找到一条经

  过七座桥,但每座桥只走一次的路线是不可能的.

  有名的“哥尼斯堡七桥问题”就这样被欧拉解决了.

  在这里,我们可以看到欧拉解决这个问题的关键就是把“七桥问题”变成了一个“一笔

  画”问题,那么,欧拉又是怎样完成这一转变的呢?

  他把岛、半岛和陆地的具体属性舍去,而仅仅留下与问题有关的东西,这就是四个几何

  上的“点”;他再把桥的具体属性排除,仅留下一条几何上的“线”,然后,把“点”

  与“线”结合起来,这样就实现了从客观事物到图形的转变.我们把得到“点”和“线

  ”的思维方法叫做抽象,把由“点”和“线”结合成图形的思维方法叫做概括.所谓抽

  象就是从客观事物中排除非本质属性,透过现象抽出本质属性的思维方法.概括就是将

  个别事物的本质属性结合起来的思维方法.

  Euler在1736年访问Konigsberg,Prussia(nowKaliningradRussia)时,他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动.Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中,在河上建有七座桥如图所示:这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步,每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点.

  Euler把每一块陆地考虑成一个点,连接两块陆地的桥以线表示,便得如下的图后来推论出此种走法是不可能的.他的论点是这样的,除了起点以外,每一次当一个人由一座桥进入一块陆地(或点)时,他(或她)同时也由另一座桥离开此点.所以每行经一点时,计算两座桥(或线),从起点离开的线与最后回到始点的线亦计算两座桥,因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数.

  七桥所成之图形中,没有一点含有偶数条数,因此上述的任务是不可能实现的.

2020-04-19 12:40:47
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