来自何春筱的问题
xy''+x(y')^2-y'=0,y(2)=2,y'(2)=1这个微分方程怎么解
xy''+x(y')^2-y'=0,y(2)=2,y'(2)=1这个微分方程怎么解
令u=exp(y)u'=exp(y)y'u''=exp(y)(y')²+exp(y)y''
exp(y)[xy''+x(y')²-y']=xu''-u'=0
这方程很简单了,解得u=Ax²+B其中A,B为任意常数
y=ln(u)=ln(Ax²+B)y'=2Ax/(Ax²+B)
y(2)=ln(4A+B)=2y'(2)=4A/(4A+B)=1
解得B=0A=e²/4
y=ln(Ax²)=ln(A)+2ln|x|=2-2ln(2)+2ln|x|
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