【若关于x的方程4cosx-cos²x+m-3=0-查字典问答网

来自侯琳琳的问题

　　【若关于x的方程4cosx-cos²x+m-3=0恒有实数解,求取值范围.老师说有两种方法.】

　　若关于x的方程4cosx-cos²x+m-3=0恒有实数解,求取值范围.老师说有两种方法.

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2020-04-1201:29

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刘书楼

　　4cosx-cos²x+m-3=0

　　-cos²x+4cosx-4+m+1=0

　　-(cosx-2)²+m+1=0

　　m+1=(2-cosx)²

　　∵-1≤cosx≤1

　　∴1≤2-cosx≤3

　　∴1≤m+1=(2-cosx)²≤9

　　解得0≤m≤8

　　所以m的取值范围为[0,8]

　　解法2：

　　4cosx-cos²x+m-3=-cos²x+4cosx+m-3

　　令f(t)=-t²+4t+m-3其中t=cosx（-1≤t≤1）

　　∵4cosx-cos²x+m-3=0恒有实数解

　　∴f(t)=-t²+4t+m-3=0在区间t∈[-1,1]内成立,即f(t)的图像与t轴的一个交点在t∈[-1,1]内

　　从而

　　f(-1)*f(1)≤0

　　即（-1-4+m-3)(-1+4+m-3)≤0

　　化简,得

　　(m-8)m≤0

　　解得0≤m≤8

　　所以m的取值范围为[0,8]

2020-04-12 01:33:40

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