已知数列{an}的前N项和为Sn且an+1=Sn-n+3,a-查字典问答网

来自景会成的问题

　　已知数列{an}的前N项和为Sn且an+1=Sn-n+3,a1=2,.求an的通项公式我用Sn+1-Sn得出2an-1=an+1,根据这个式子当n=1时算出a2=3.可是根据上边的式子an+1=Sn-n+3算出a2=4.感觉这个推理是等价的啊为什么两个

　　已知数列{an}的前N项和为Sn且an+1=Sn-n+3,a1=2,.求an的通项公式

　　我用Sn+1-Sn得出2an-1=an+1,根据这个式子当n=1时算出a2=3.可是根据上边的式子an+1=Sn-n+3算出a2=4.感觉这个推理是等价的啊为什么两个结果不一致呢.求数学帝解惑、

1回答

2020-04-1121:23

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姜宏

　　我认为问题出在n的取值范围上

　　an+1=Sn-n+3,此时n的取值范围是n≥1

　　an=Sn-1-n+4此时n的取值范围是n≥2

　　所以两者必须先统一n的范围才能够相减

　　所以应该为2an-1=an+1(n≥2）

　　故不能将n=1代入上式.

　　2an-1=an+1(n≥2）

　　即(an+1-1)-2(an-1)=0

　　令an-1=bn

　　则bn+1-2bn=0

　　(bn+1)/bn=2

　　故bn是等比数列

　　b1=a1-1=1

　　所以bn=2^(n-1)

　　所以an=bn+1=2^(n-1)+1(n≥2）

　　这时才能将n=1代入检验

　　a1=1+1=2,符合上式

　　所以an=2^(n-1)+1

2020-04-11 21:24:48

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