【设f(a)的导数存在,证明:lim(x–o)xf(a)-a-查字典问答网

来自任文杰的问题

　　【设f(a)的导数存在,证明:lim(x–o)xf(a)-af(x)/x-a=f(a)-af'(a)】

　　设f(a)的导数存在,证明:lim(x–o)xf(a)-af(x)/x-a=f(a)-af'(a)

1回答

2020-04-0923:44

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崔博文

　　显然x趋于a的时候,分子分母都趋于0

　　如果已经学过求导的话,由洛必达法则

　　对分子分母同时对x求导后再相除仍然是原极限值,

　　那么[xf(a)-af(x)]'=f(a)-af'(a)

　　而(x-a)'=1,故原极限=f(a)-af'(a)

　　如果还没学到这里,用定义做,

　　原极限

　　=lim(x->a)[xf(a)-xf(x)+xf(x)-af(x)]/(x-a)

　　=lim(x->a)[xf(a)-xf(x)]/(x-a)+(x-a)f(x)/(x-a)

　　=lim(x->a)-x*[f(x)-f(a)]/(x-a)+f(x)

　　显然

　　lim(x->a)[f(x)-f(a)]/(x-a)就是f'(a)

　　所以

　　原极限=-a*f'(a)+f(a)

　　于是得到了证明

2020-04-09 23:45:37

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