如图1，已知平行四边形PQRS是⊙O的内接四边形．（1）求证-查字典问答网

如图1，已知平行四边形PQRS是⊙O的内接四边形．（1）求证-查字典问答网

来自孙立的问题

　　如图1，已知平行四边形PQRS是⊙O的内接四边形．（1）求证：平行四边形PQRS是矩形．（2）如图2，如果将题目中的⊙O改为边长为a的正方形ABCD，在AB、CD上分别取点P、S，连接PS，将Rt△SAP绕正

　　如图1，已知平行四边形PQRS是⊙O的内接四边形．

　　（1）求证：平行四边形PQRS是矩形．

　　（2）如图2，如果将题目中的⊙O改为边长为a的正方形ABCD，在AB、CD上分别取点P、S，连接PS，将Rt△SAP绕正方形中心O旋转180°得Rt△QCR，从而得四边形PQRS．试判断四边形RQRS能否变化成矩形？若能，设PA=x，SA=y，请说明x、y具有什么关系时，四边形PQRS是矩形；若不能，请说明理由．

1回答

2020-03-3023:09

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苏曙光

　　（1）证明：∵平行四边形PQRS内接于⊙O，

　　∴∠Q+∠S=180°．

　　又∵∠Q=∠S，

　　∴∠Q=90°，

　　∴平行四边形PQRS是矩形．

　　（2）∵Rt△SAP与Rt△QCR关于点O对称，

　　∴QS与PR被O点平分，四边形PQRS为平行四边形．

　　若平行四边形PQRS变成矩形，不妨设∠QPS=90°．则∠BPQ+∠APS=90°．

　　又∵∠APS+∠ASP=90°，

　　∴∠BPQ=∠ASP，

　　∴△BPQ∽△ASP．

　　∴BP：BQ=AS：AP，

　　即（a-x）：（a-y）=y：x，

　　整理得（x-y）（x+y-a）=0，

　　∴x=y或x+y=a．

　　∴当x=y或x+y=a时，

　　可证得△BPQ∽△ASP，此时有∠QPS=90°，

　　从而得平行四边形PQRS是矩形．

2020-03-30 23:13:06

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