【设a为质数,b,c为正整数,且满足9(2a+2b-c)的平-查字典问答网

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　　【设a为质数,b,c为正整数,且满足9(2a+2b-c)的平方=509（4a+1022b-511c)且b-c=2,求a(b+c)的值】

　　设a为质数,b,c为正整数,且满足9(2a+2b-c)的平方=509（4a+1022b-511c)且b-c=2,求a(b+c)的值

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2020-03-2421:00

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金键

　　由9(2a+2b-c)²=509(4a+1022b-511c),a,b,c都为整数.

　　比较两边质因子,得509|2a+2b-c(509是质数).

　　可设2a+2b-c=509k,其中k为正整数(2a+2b-c>0).

　　则4a+1022b-511c=4a+4b-2c+509(2b-c)=509(2k+2b-c).

　　代回得9k²=2k+2b-c,即2b-c=9k²-2k,于是2a=509k-(2b-c)=(511-9k)k.

　　由a为质数,比较两边分解式,可能有以下几种情况:

　　k=1,511-9k=2a,得a=251为质数.

　　k=2,511-9k=a,得a=493=17·29不为质数,舍去.

　　k=a,511-9k=2,无整数解,舍去.

　　k=2a,511-9k=1,无整数解,舍去.

　　于是只有k=1,a=251,代回得2b-c=9k²-2k=7,又b-c=2,得b=5,c=3.

　　a(b+c)=251·8=2008.

2020-03-24 21:01:34

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