设函数f(x)=(x+1)ln(x+1).若对所有的x≥0,-查字典问答网
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  设函数f(x)=(x+1)ln(x+1).若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.

  设函数f(x)=(x+1)ln(x+1).若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.

1回答
2020-03-2210:09
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龚惠兴

  解法一:

  令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,

  对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a

  令g′(x)=0,解得x=ea-1-1,

  (i)当a≤1时,对所有x>0,g′(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上是增函数,

  又g(0)=0,所以对x≥0,都有g(x)≥g(0),

  即当a≤1时,对于所有x≥0,都有f(x)≥ax.

  (ii)当a>1时,对于0<x<ea-1-1,g′(x)<0,所以g(x)在(0,ea-1-1)是减函数,

  又g(0)=0,所以对0<x<ea-1-1,都有g(x)<g(0),

  即当a>1时,不是对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立.

  综上,a的取值范围是(-∞,1].

  解法二:

  令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,

  于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立.

  对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a

  令g′(x)=0,解得x=ea-1-1,

  当x>ea-1-1时,g′(x)>0,g(x)为增函数,

  当-1<x<ea-1-1,g′(x)<0,g(x)为减函数,

  所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea-1-1≤0.

  由此得a≤1,即a的取值范围是(-∞,1].

2020-03-22 10:13:24
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