来自孙景发的问题
求指数是复数的幂的定义以(a+bi)^(c+di)为例.
求指数是复数的幂的定义
以(a+bi)^(c+di)为例.
设
ln(a+bi)=x+yi
则
(a+bi)^(c+di)=e^[(c+di)ln(a+bi)]
=e^[(c+di)(x+yi)]
=e^[cx-dy]e^[i(xd-yc)]
而
ln(a+bi)=x+yi,
a+bi=e^[x+yi]=e^xe^(yi)=e^x[cosy+isiny]
e^x=(a^2+b^2)^(1/2),x=[ln(a^2+b^2)]/2.
tany=b/a.
y的取值不唯一.
y的其中一个值【称为主值】=arctan(b/a)
所以,ln(a+bi)的值不唯一.
所以,(a+bi)^(c+di)的值不唯一.
这就是复变函数的复杂的地方.
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