【正态分布N(0,σ^2),求X^n的期望】-查字典问答网
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  【正态分布N(0,σ^2),求X^n的期望】

  正态分布N(0,σ^2),求X^n的期望

1回答
2020-03-1720:02
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梁永东

  由题意得到,t=x/σ服从N(0,1)

  f(t)=[1/√(2π)]*e^(-t^2/2)

  可以先求出E(t^n),然后E(x^n)=(σ^n)*E(t^n)

  E(t^n)=∫(-∞,+∞)[t^nf(t)]dt

  所以n是奇数时,E(t^n)=0

  当n是偶数时,

  E(t^n)=∫(-∞,+∞)[t^nf(t)]dt

  =2∫(0,+∞)[t^nf(t)]dt

  =2[1/√(2π)]∫(0,+∞)[(t^n)*e^(-t^2/2)]dt

  =[(√2)^n/(√π)]∫(0,+∞)[(t/√2)^(n-1)]*[e^((-(t/√2)^2)]d((t/√2)^2)

  令u=(t/√2)^2

  所以

  E(t^n)=[(√2)^n/(√π)]∫(0,+∞){[u^[(n-1)/2]}*[e^(-u)]du

  =[(√2)^n/(√π)]*Γ(n/2+1/2)

  =[(√2)^n/(√π)]*[(n-1)!(√π)/(√2)^n]

  =(n-1)!

  所以

  E(x^n)=(σ^n)*E(t^n)=0,当n时奇数时

  (σ^n)*(n-1)!,当n是偶数时

2020-03-17 20:04:46
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