来自翟俊海的问题
【正态分布N(0,σ^2),求X^n的期望】
正态分布N(0,σ^2),求X^n的期望


【正态分布N(0,σ^2),求X^n的期望】
正态分布N(0,σ^2),求X^n的期望
由题意得到,t=x/σ服从N(0,1)
f(t)=[1/√(2π)]*e^(-t^2/2)
可以先求出E(t^n),然后E(x^n)=(σ^n)*E(t^n)
E(t^n)=∫(-∞,+∞)[t^nf(t)]dt
所以n是奇数时,E(t^n)=0
当n是偶数时,
E(t^n)=∫(-∞,+∞)[t^nf(t)]dt
=2∫(0,+∞)[t^nf(t)]dt
=2[1/√(2π)]∫(0,+∞)[(t^n)*e^(-t^2/2)]dt
=[(√2)^n/(√π)]∫(0,+∞)[(t/√2)^(n-1)]*[e^((-(t/√2)^2)]d((t/√2)^2)
令u=(t/√2)^2
所以
E(t^n)=[(√2)^n/(√π)]∫(0,+∞){[u^[(n-1)/2]}*[e^(-u)]du
=[(√2)^n/(√π)]*Γ(n/2+1/2)
=[(√2)^n/(√π)]*[(n-1)!(√π)/(√2)^n]
=(n-1)!
所以
E(x^n)=(σ^n)*E(t^n)=0,当n时奇数时
(σ^n)*(n-1)!,当n是偶数时